Two vector spaces V and W are isomorphic:V \cong W, if and only if \textrm{dim }V=\textrm{dim }W.
이것은 다음에 제시하는 말뜻과도 상통합니다.
Let T:V\longrightarrow W be a linear transformation and \{\boldsymbol v^1,\cdots,\boldsymbol v^n\} be a basis for V. Then T is an isomorphism if and only if \{T(\boldsymbol v^1),\cdots,T(\boldsymbol v^n)\} is a basis for W.
오늘 이것저것 삽질하면서 증명한 내용들을 적어 놓는 것으로 이 포스팅을 마무리해 볼까 합니다. 일단 반쪽만 적어놓고, 틈 나면 나머지 반쪽을 채워 넣도록 하겠습니다.
If isomorphism, \{\cdots T(\boldsymbol v^n)\} is a basis for W. If there is an isomorphism, it is invertible, that is, it is injective and surjective. From the fact that it is injective, let \sum_{i=1}^n c_iT(\boldsymbol v^i) = 0 = T(0). Then
Since the linear transformation is injective, \sum_{i=1}^n c_i\boldsymbol v^i = 0 and c_k = 0, k = 1,\cdots,n since \{\boldsymbol v^n\} is a basis for V.
From the fact that it is surjective, for every \boldsymbol w \in W, there is T(\boldsymbol v) = \boldsymbol w for some \boldsymbol v \in V.\boldsymbol v = \sum_{i=1}^n c_i\boldsymbol v^i so
오늘 생각보다 묵직한 것을 하나 이해해서 잊어버리기 전에 흔적을 남기려고 이렇게 어렵사리 글을 적어내려가고 있습니다.
응선대 수준에서는 더 깊은 의미를 주지는 못한다고 하지만, 다음 이야기를 진행하려면 필요한 Theorem이니..
Let V and W be vector spaces. Let \{v^1,v^2,\cdots,v^n\} be a basis for V and let w^1,w^2,\cdots,w^n b any vectors (possibly repeated) in W. Then there exists a unique linear transformation T:V\longrightarrow W such that T(v^i)=w^i for i=1,2,\cdots,n.
이 Theorem은 Basis 안의 Vector들에 대해서 내 맘대로 대응되는 Space의 Vector를 정해주면 유일한 Linear transformation이 정해진다는 의미입니다.
A linear transformation T:V\longrightarrow W from a vector space V to another W is called an isomorphism if it is invertible (or one-to-one and onto). In this case, we say that V and W are isomorphic to each other, denoted by V\cong W.
처음 이 과목을 들을 때는 참 많이 흘려 들었구나... 라는 생각이 들었던 대목이 이 곳이었습니다.
결국 Isomorphic이라는 것은, 이름만 다르지 사실은 같은 것이고, 본질적으로는 Vector space는 \mathbb R^n으로 귀결된다는 의미가 있는 Theorem입니다.
위의 그림도 자주 보아 오던 그림인데요. 이번 기회를 통해서 잘 이해하게 되어 기념으로 한 번 그려 보았습니다.
Given T에 대해서 \Phi와 \Psi라는 Isomorphism을 통해 각각 (V, \alpha), \mathbb R^n과 (W, \beta), \mathbb R^m이 관계를 맺습니다.
T의 Matrix representation인 [T]^\alpha_\beta는 주어진 Bases \alpha, \beta에 의해서 결정되며, 그 속 내용물은 \left[[T(v^1)]_\beta[T(v^2)]_\beta\cdots[T(v^n)]_\beta\right]입니다.
시간 날 때마다 곱씹어 보아야겠습니다. 흙... 이런 것들을 2년만, 아니 1년만 일찍 알았더라면...
\parstyle\begin{eqnarray*}
&Pf)& x \in f^{-1}(A\cup B)\\
&\Leftrightarrow& f(x) \in A\cup B\\
&\Leftrightarrow& f(x) \in A\mbox{ or }f(x) \in B\\
&\Leftrightarrow& x \in f^{-1}(A)\mbox{ or }x \in f^{-1}(B)\\
&\Leftrightarrow& x \in f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)
\end{eqnarray*}
f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)
펼쳐주세요
\parstyle\begin{eqnarray*}
&Pf)& x \in f^{-1}(A\cap B)\\
&\Leftrightarrow& f(x) \in A\cap B\\
&\Leftrightarrow& f(x) \in A\mbox{ and }f(x) \in B\\
&\Leftrightarrow& x \in f^{-1}(A)\mbox{ and }x \in f^{-1}(B)\\
&\Leftrightarrow& x \in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)
\end{eqnarray*}
f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)
펼쳐주세요
\parstyle\begin{eqnarray*}
&&Pf) (\Rightarrow)\\
&&\mbox{Let }y \in f(A\cup B).\mbox{ Then }y=f(x)\mbox{ where }x \in A\cup B.\\
&&y=f(x)\mbox{ where }x \in A\mbox{ or }x \in B.\mbox{ So }y\in f(A)\mbox{ or }y\in f(B).\\
&&\therefore y\in f(A)\cup f(B).\\
&&(\Leftarrow)\\
&&\mbox{Let }y\in f(A)\cup f(B).\mbox{ Then }y\in f(A)\mbox{ or }y\in f(B).\\
&&y=f(a)\mbox{ for some }a \in A\mbox{ or }y=f(b)\mbox{ for some }b \in B.\\
&&\mbox{So }y=f(x)\mbox{ for some }x \in A\cup B.\\
&&\therefore y \in f(A\cup B).
\end{eqnarray*}
f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)
펼쳐주세요
\parstyle\begin{eqnarray*}
&&\mbox{counter example)}\\
&&\mbox{Let }f:X\rightarrow Y\mbox{ be a ftn that is not 1-1.}\\
&&\mbox{Then choose distinct }a, b \in X\mbox{ such that } f(a)=f(b)=y.\\
&&\mbox{And let }A, B\mbox{ be two sets satisfying }A\cap B=\emptyset\mbox{ and }a\in A, b\in B.\\
&&\mbox{Then }y\in f(A) \cap f(B)\mbox{ but }f(A\cap B)=\emptyset.
\end{eqnarray*}
Caution! 아래와 같이 실수하지 말것
\parstyle\begin{eqnarray*}&& y \in f(A\cap B)\\
&\Leftrightarrow& y=f(x)\mbox{ where }x \in A\cap B\\
&\Leftrightarrow& y=f(x)\mbox{ where }x \in A\mbox{ and }x \in B\\
&\Leftrightarrow& y\in f(A)\mbox{ and }y\in f(B)\\
&\Leftrightarrow& y\in f(A)\cap f(B)
\end{eqnarray*}
Suppose X and Y are metric spaces, E\subset X, p\in E and f maps E into Y. Then f is said to be continuous atp if for every \varepsilon > 0 there exists a \delta>0 such that
\gif d_Y(f(x), f(p))<\varepsilon
for all points x\in E for which d_X(x,p)<\delta.
그럴싸한가요? ...하아 이전 단원에서 \varepsilon, N을 가지고 수렴성을 정의했던 것과 유사한데요. 이번에는 N 대신 \delta가 나왔습니다.
임의의 \varepsilon와 고정된 점 p에 따라서 조건에 합당하는 \delta가 결정되는 것이 특징입니다.
다음은 Uniform continuity입니다.
Let f be a mapping of a metric space X into a metric space Y. We say that f is uniformly continuous on X if for every \varepsilon>0 there exists \delta>0 such that
d_Y(f(p),f(q))<\varepsilon
for all p and q in X for which d_X(p,q)<\delta.
Continuity와 거의 유사하지만 이번에는 X에 포함되는 어떠한 점 p, q라도 위의 조건을 만족해야 한다는, 좀 더 강력한 의미의 정의입니다. 즉, 순전히 함수의 성질과 임의의 \varepsilon에 대해서 \delta의 상한치를 결정할 수 있다는 의미입니다.
다음은 Compactness 복습입니다 :)
By an open cover of a set E in a metric space X we mean a collection \{G_\alpha\} of open subsets of X such that E\subset\cup_\alpha G_\alpha.
A subset K of a metric space X is said to be compact if every open cover of K contains a finite subcover. More explicitly, the requirement is that if \{G_\alpha\} is an open cover of K, then there are finitely many indices \alpha_1,\cdots,\alpha_n such that
K\subset G_{\alpha_1}\cup\cdots\cup G_{\alpha_n}.
조금 직관적으로 와닿게 설명을 하자면, 어떤 Set에 대한 Open cover가 존재한다고 했을 경우에, 그 중에서 유한 개를 골라 Set을 덮어버릴 수 있음을 이야기하는 것이 Compactness입니다. 유한 장의 이불로 침대를 덮어 버릴 수 있다면 그 침대는 Compact한 것이지요. :)
그럼 이제 본론으로 들어가 보겠습니다.
Let f be a continuous mapping of a compact metric space X into a metric space Y. Then f is uniformly continuous on X.
Let \varepsilon>0 given. Since f is continuous, we can associate to each point p\in X a positive number \phi(p) such that
Since p\in J(p), the collection of all sets J(p) is an open cover of X; and since X is compact, there is a finite set of points p_1,\cdots,p_n in X, such that
Then \delta>0. (This is one point where the finiteness of the covering, inherent in the definition of compactness, is essential. The minimum of a finite set of positive numbers is positive, whereas the inf of an infinite set of positive numbers may very well be 0.)
먼저 Continuity의 정의를 활용해서, 어떤 점 q\in X에서 \phi(p)에 들어가기만 하면 Y에서는 \frac{\varepsilon}{2}에 들어간다고 해 놓은 다음, 이제는 반대로 p쪽으로 시선을 돌려 \phi(p)/2 범위 안에 들어가는 q를 모아서 J(p)를 만듭니다. 어짜피 모든 p\in X에 대해서 고려하기 때문에 논리에 문제는 없습니다.
X가 Compact이므로 그런 J(p) 중 유한 개를 골라서 전체를 덮는 Open cover를 만들 수 있습니다.
여기서 Compactness의 힘이 발휘되는군요.
무언가 무한 개의 양수들의 inf를 찾는다면 0이 될 수도 있겠지만, 꼼짝없이 유한 개의 양수들 중 inf를 찾는다면 0이 될 수가 없지요. 유한 개의 Open neighborhoods 반지름을 일렬로 세워 놓고 그 중 가장 작은 값을 \delta라고 정의하고 증명을 시작합니다.
Now let q and p be points of X, such that d_X(p,q)<\delta. By (2), there is an integer m, 1\le m\le n, such that p\in J(p_m); hence
이전 일련의 과정이 증명을 하기 위한 초석을 다지기 위함이었다면, 이제는 마련된 기반 위에서 처음 제시하였던 명제를 증명합니다.
위에서 정의했던 \delta보다 작은 거리에 위치한 두 점 p와 q를 설정합니다. 그러면 (2)에 따라서 p\in X는 유한 개의 Open neighborhoods 중 하나에 포함됩니다. 그러면 p가 포함된 Open neighborhood의 중심을 p_m이라고 하고요, J(p)의 정의에 따라서 두 점의 거리는 \frac{1}{2}\phi(p_m)보다 작게 됩니다.
처음에 내렸던 p, q의 거리의 정의와 결합된 삼각부등식을 사용하면 마지막에서 두 번째 부등식의 결과를 얻을 수 있고, 이 결과는 그대로 Uniform continuity의 결론을 내는 데 사용됩니다.
제법 먼 길을 돌아왔네요. 처음에는 해석학 Remind도 하고 수식 입력 테스트도 해 볼 겸 시작했는데 일이 이렇게 방대해 질 줄은 몰랐습니다. 흑흑... 그래도 의미 있는 일인 것 같아서 뿌듯합니다. 이대로 학기말까지 공부 열심히 해서 좋은 성적 받기를 고대하며 이만...
다음의 식은 일부만 맞고, 일부는 틀리다. 이를 구분하고, 증명하거나 혹은 반례를 찾으시오.
f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)
내 생각
True. Let x\in f^{-1}(A\cup B). Then f(x)\in A or f(x)\in B. Therefore x\in f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B). Next, let x\in f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B). Then f(x)\in A or f(x)\in B. So f(x)\in A\cup B and x\in f^{-1}(A\cup B).
f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)
내 생각
First trial.False. There is a mapping f:X\rightarrow Y of X into Y. Suppose that there is f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B) = \phi. And let y \in A \cap B such that A \subset Y and B \subset Y. Then f(a) = y for some a \in f^{-1}(A) and f(b) = y for some b \in f^{-1}(B). For the condition, a and b cannot be in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B).
틀렸댄다. 고민 좀 더 해보자. 흑흑...
Second trial. True. Let x \in f^{-1}(A\cap B). Then f(x)\in A\cap B. This means that x\in f^{-1}(A) and x\in f^{-1}(B). Therefore x\in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B). Next, let x \in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B). Then f(x)\in A and f(x)\in B. That means f(x)\in A\cap B so x\in f^{-1}(A\cap B).
참... 그랬어요
f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)
내 생각
First trial.True. Let y_1\in f(A\cup B), y_2\in f(A)\cup f(B). Then f^{-1}(y_1)\subset A\cup B and f^{-1}(y_2)\subset A or f^{-1}(y_2)\subset B, respectively. We know that what a element is in A\cup B and what a element is in A or B are exactly same.
Second trial. True. Let y\in f(A\cup B). Then f(x)=y for some x\in A\cup B. This means x\in A or x\in B. Therefore y\in f(A)\cup f(B). And let y\in f(A)\cup f(B). Then f(x)=y for some x\in A or x\in B. This means that x\in A\cup B so y\in f(A\cup B).
f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)
내 생각
It is not always true. Suppose that there exists an element y\in f(A)\cap f(B) and A\cap B=\phi. Then there is no element in f(A\cap B).
이번 학기에 해석학을 수강하면서, 다양한 솔루션들을 접하게 되었는데요. 사실, 수학과가 아니면서 갑자기 이런 과목을 듣는다는 것 자체가 얼마나 힘든 일인지를 새삼 깨닫고 있습니다.
다행이도 친구님께서 하루에 3시간 이상씩 메신저로나마 열심히 도와주고 계셔서 살아남고 있기는 하지만... 하루하루가 괴롭게 지나가는 것은 어쩔 수가 없네요. 그나마 이 것을 통해 새로운 재미를 발견하기에 이렇게 버텨 나가는 것이지 그런 것조차 없었다면 진작에 짤랐을 과목입니다.
도움 받은 것도 있고, 좋은 자료들도 조금씩 확보해 가고 있어 따로 조그맣게 카테고리를 만들었습니다.
일단 처음 올리는 것들은 포항공과대학교 2008년 1학기 해석학 I 과목입니다. 주교재는 매우 유명한 Walter Rudin의 PMA입니다.
다른 과목들도 시간 나면 차차 올려보도록 할께요. 저같이 수학과도 아닌데 수학과에서 치이시는 분들께 큰 힘이 되었으면 좋겠습니다.
mapping.pdf
