Continuity, Uniform continuity, Compactness 2008/04/14 16:57
제목도 그럴싸합니다.
일단 머리에 잘 들어오게 연속성에 대해서 주루룩 써 보도록 하지요.
X and Y are metric spaces, E\subset X, p\in E and f maps E into Y. Then f is said to be continuous at p if for every \varepsilon > 0 there exists a \delta>0 such that\gif d_Y(f(x), f(p))<\varepsilonfor all points x\in E for which d_X(x,p)<\delta.그럴싸한가요? ...하아
이전 단원에서 \varepsilon, N을 가지고 수렴성을 정의했던 것과 유사한데요.
이번에는 N 대신 \delta가 나왔습니다.
임의의 \varepsilon와 고정된 점 p에 따라서
조건에 합당하는 \delta가 결정되는 것이 특징입니다.
다음은 Uniform continuity입니다.
f be a mapping of a metric space X into a metric space Y. We say that f is uniformly continuous on X if for every \varepsilon>0 there exists \delta>0 such thatd_Y(f(p),f(q))<\varepsilonfor all p and q in X for which d_X(p,q)<\delta.Continuity와 거의 유사하지만 이번에는 X에 포함되는
어떠한 점 p, q라도 위의 조건을 만족해야 한다는, 좀 더 강력한 의미의 정의입니다.
즉, 순전히 함수의 성질과 임의의 \varepsilon에 대해서 \delta의 상한치를 결정할 수 있다는 의미입니다.
다음은 Compactness 복습입니다 :)
E in a metric space X we mean a collection \{G_\alpha\} of open subsets of X such that E\subset\cup_\alpha G_\alpha.A subset
K of a metric space X is said to be compact if every open cover of K contains a finite subcover.More explicitly, the requirement is that if
\{G_\alpha\} is an open cover of K, then there are finitely many indices \alpha_1,\cdots,\alpha_n such thatK\subset G_{\alpha_1}\cup\cdots\cup G_{\alpha_n}.조금 직관적으로 와닿게 설명을 하자면,
어떤 Set에 대한 Open cover가 존재한다고 했을 경우에,
그 중에서 유한 개를 골라 Set을 덮어버릴 수 있음을 이야기하는 것이 Compactness입니다.
유한 장의 이불로 침대를 덮어 버릴 수 있다면 그 침대는 Compact한 것이지요. :)
그럼 이제 본론으로 들어가 보겠습니다.
f be a continuous mapping of a compact metric space X into a metric space Y. Then f is uniformly continuous on X.\varepsilon>0 given. Since f is continuous, we can associate to each point p\in X a positive number \phi(p) such that(1)
q\in X, d_X(p,q)<\phi(p)\mbox{ implies }d_Y(f(p),f(q))<\frac{\varepsilon}{2}.Let J(p) be the set of all q\in X for whichd_X(p,q)<\frac{1}{2}\phi(p).Since p\in J(p), the collection of all sets J(p) is an open cover of X; and since X is compact, there is a finite set of points p_1,\cdots,p_n in X, such that(2)
X\subset J(p_1)\cup\cdots\cup J(p_n).We put\delta = \frac{1}{2}\textrm{min}[\phi(p_1),\cdots,\phi(p_n)].Then \delta>0. (This is one point where the finiteness of the covering, inherent in the definition of compactness, is essential. The minimum of a finite set of positive numbers is positive, whereas the inf of an infinite set of positive numbers may very well be 0.)먼저 Continuity의 정의를 활용해서,
어떤 점 q\in X에서 \phi(p)에 들어가기만 하면 Y에서는 \frac{\varepsilon}{2}에 들어간다고 해 놓은 다음,
이제는 반대로 p쪽으로 시선을 돌려\phi(p)/2 범위 안에 들어가는 q를 모아서 J(p)를 만듭니다.
어짜피 모든 p\in X에 대해서 고려하기 때문에 논리에 문제는 없습니다.
X가 Compact이므로 그런 J(p) 중 유한 개를 골라서
전체를 덮는 Open cover를 만들 수 있습니다.
여기서 Compactness의 힘이 발휘되는군요.
무언가 무한 개의 양수들의 inf를 찾는다면 0이 될 수도 있겠지만,
꼼짝없이 유한 개의 양수들 중 inf를 찾는다면 0이 될 수가 없지요.
유한 개의 Open neighborhoods 반지름을 일렬로 세워 놓고 그 중 가장 작은 값을\delta라고 정의하고 증명을 시작합니다.
q and p be points of X, such that d_X(p,q)<\delta. By (2), there is an integer m, 1\le m\le n, such that p\in J(p_m); henced_X(p,p_m)<\frac{1}{2}\phi(p_m)and we also haved_X(q,p_m)\le d_X(p,q)+d_X(p,p_m)<\delta+\frac{1}{2}\phi(p_m)\le\phi(p_m).Finally, (1) shows that therefored_Y(f(p),f(q))\le d_Y(f(p),f(p_m))+d_Y(f(q),f(p_m))<\varepsilon.This completes the proof.이전 일련의 과정이 증명을 하기 위한 초석을 다지기 위함이었다면,
이제는 마련된 기반 위에서 처음 제시하였던 명제를 증명합니다.
위에서 정의했던 \delta보다 작은 거리에 위치한 두 점 p와 q를 설정합니다.
그러면 (2)에 따라서 p\in X는 유한 개의 Open neighborhoods 중 하나에 포함됩니다.
그러면 p가 포함된 Open neighborhood의 중심을 p_m이라고 하고요,J(p)의 정의에 따라서 두 점의 거리는 \frac{1}{2}\phi(p_m)보다 작게 됩니다.
처음에 내렸던 p, q의 거리의 정의와 결합된 삼각부등식을 사용하면
마지막에서 두 번째 부등식의 결과를 얻을 수 있고,
이 결과는 그대로 Uniform continuity의 결론을 내는 데 사용됩니다.
제법 먼 길을 돌아왔네요.
처음에는 해석학 Remind도 하고 수식 입력 테스트도 해 볼 겸 시작했는데
일이 이렇게 방대해 질 줄은 몰랐습니다. 흑흑...
그래도 의미 있는 일인 것 같아서 뿌듯합니다.
이대로 학기말까지 공부 열심히 해서 좋은 성적 받기를 고대하며 이만...
