Linear transformations and Isomorphism 2008/04/21 04:51
아... 결국은 그림 하나 그리려고 별 짓을 다 해 보는군요.
오늘 생각보다 묵직한 것을 하나 이해해서 잊어버리기 전에 흔적을 남기려고
이렇게 어렵사리 글을 적어내려가고 있습니다.
응선대 수준에서는 더 깊은 의미를 주지는 못한다고 하지만,
다음 이야기를 진행하려면 필요한 Theorem이니..
V and W be vector spaces. Let \{v^1,v^2,\cdots,v^n\} be a basis for V and let w^1,w^2,\cdots,w^n b any vectors (possibly repeated) in W. Then there exists a unique linear transformation T:V\longrightarrow W such that T(v^i)=w^i for i=1,2,\cdots,n.이 Theorem은 Basis 안의 Vector들에 대해서
내 맘대로 대응되는 Space의 Vector를 정해주면
유일한 Linear transformation이 정해진다는 의미입니다.
T:V\longrightarrow W from a vector space V to another W is called an isomorphism if it is invertible (or one-to-one and onto). In this case, we say that V and W are isomorphic to each other, denoted by V\cong W.처음 이 과목을 들을 때는 참 많이 흘려 들었구나...
라는 생각이 들었던 대목이 이 곳이었습니다.
결국 Isomorphic이라는 것은, 이름만 다르지 사실은 같은 것이고,
본질적으로는 Vector space는 \mathbb R^n으로 귀결된다는 의미가 있는 Theorem입니다.
\parstyle\xymatrix@C=0.4pc@R=0.4pc{(V,\alpha) \ar[dddddd]_{\Phi} \ar[rrrrrr]^{T} & & & & & & (W, \beta) \ar[dddddd]^{\Psi} \\
& x \ar@{|->}[dddd] \ar@{|~>}[rrrr] & & & & T(x) \ar@{|->}[dddd] & \\
& & & & & & \\
& & & & & & \\
& & & & & & \\
& [x]_\alpha \ar@{|~>}[rrrr] & & & & [x]_\beta & \\
\mathbb R^n \ar[rrrrrr]_{A = [T]^\alpha_\beta} & & & & & & \mathbb R^m}
위의 그림도 자주 보아 오던 그림인데요.
이번 기회를 통해서 잘 이해하게 되어 기념으로 한 번 그려 보았습니다.
Given T에 대해서 \Phi와 \Psi라는 Isomorphism을 통해
각각 (V, \alpha), \mathbb R^n과 (W, \beta), \mathbb R^m이 관계를 맺습니다.
T의 Matrix representation인 [T]^\alpha_\beta는 주어진 Bases \alpha, \beta에 의해서 결정되며,
그 속 내용물은 \left[[T(v^1)]_\beta[T(v^2)]_\beta\cdots[T(v^n)]_\beta\right]입니다.
시간 날 때마다 곱씹어 보아야겠습니다. 흙...
이런 것들을 2년만, 아니 1년만 일찍 알았더라면...
