어제 동기 아가씨와 뭣좀 사러 나갔다가
사회에 몸을 던진 지 벌써 1년이 되어 간다는 사실을 알았습니다.
일단, '1년이 되도록 난 뭘 했나'라는 생각이 먼저 들더군요.
옆 자리의 Quant 선배는 1년만에 대성을 했었는데,
왜 난 아직도 어버버 거리는지... 하는 생각이 제일 먼저 들더랍니다.
의지는 있지만, 그 의지를 실현하기에 너무 많은 직무를 손에 쥐고 있는게 아닌가 하는 생각입니다.
많이 놓을 수록 크게 성공하는 것이라는데, 아무래도 전 대성하기에는 시간이 좀 걸리겠네요. ㅎㅎ
다음 든 생각은 '시간 참 빨리 간다'는 것이었습니다.
어릴 적 시간을 되돌아보면, (그래봐야 전 중학교 이전까지는 못 돌립니다.)
지금 이 시점이 제일 빨리 지나가고 있는 것 같다는 느낌이 듭니다.
어르신들 말씀 하나 틀린 게 없어요.
여의도 바닥에서 파릇파릇 싹 뜨는걸 보기 시작해서
비 오고, 낙엽 지고, 눈 오고, 다시 꽃 피고, 푸른 녹엽이 지기까지
그리 긴 시간이 걸리지 않은 것 같아서 내심 놀라기도 했고,
'1년이 되도록 난 뭘 했나'와 맞물려서 씁슬하기도 하고요.
Suppose X and Y are metric spaces, E\subset X, p\in E and f maps E into Y. Then f is said to be continuous atp if for every \varepsilon > 0 there exists a \delta>0 such that
\gif d_Y(f(x), f(p))<\varepsilon
for all points x\in E for which d_X(x,p)<\delta.
그럴싸한가요? ...하아 이전 단원에서 \varepsilon, N을 가지고 수렴성을 정의했던 것과 유사한데요. 이번에는 N 대신 \delta가 나왔습니다.
임의의 \varepsilon와 고정된 점 p에 따라서 조건에 합당하는 \delta가 결정되는 것이 특징입니다.
다음은 Uniform continuity입니다.
Let f be a mapping of a metric space X into a metric space Y. We say that f is uniformly continuous on X if for every \varepsilon>0 there exists \delta>0 such that
d_Y(f(p),f(q))<\varepsilon
for all p and q in X for which d_X(p,q)<\delta.
Continuity와 거의 유사하지만 이번에는 X에 포함되는 어떠한 점 p, q라도 위의 조건을 만족해야 한다는, 좀 더 강력한 의미의 정의입니다. 즉, 순전히 함수의 성질과 임의의 \varepsilon에 대해서 \delta의 상한치를 결정할 수 있다는 의미입니다.
다음은 Compactness 복습입니다 :)
By an open cover of a set E in a metric space X we mean a collection \{G_\alpha\} of open subsets of X such that E\subset\cup_\alpha G_\alpha.
A subset K of a metric space X is said to be compact if every open cover of K contains a finite subcover. More explicitly, the requirement is that if \{G_\alpha\} is an open cover of K, then there are finitely many indices \alpha_1,\cdots,\alpha_n such that
K\subset G_{\alpha_1}\cup\cdots\cup G_{\alpha_n}.
조금 직관적으로 와닿게 설명을 하자면, 어떤 Set에 대한 Open cover가 존재한다고 했을 경우에, 그 중에서 유한 개를 골라 Set을 덮어버릴 수 있음을 이야기하는 것이 Compactness입니다. 유한 장의 이불로 침대를 덮어 버릴 수 있다면 그 침대는 Compact한 것이지요. :)
그럼 이제 본론으로 들어가 보겠습니다.
Let f be a continuous mapping of a compact metric space X into a metric space Y. Then f is uniformly continuous on X.
Let \varepsilon>0 given. Since f is continuous, we can associate to each point p\in X a positive number \phi(p) such that
Since p\in J(p), the collection of all sets J(p) is an open cover of X; and since X is compact, there is a finite set of points p_1,\cdots,p_n in X, such that
Then \delta>0. (This is one point where the finiteness of the covering, inherent in the definition of compactness, is essential. The minimum of a finite set of positive numbers is positive, whereas the inf of an infinite set of positive numbers may very well be 0.)
먼저 Continuity의 정의를 활용해서, 어떤 점 q\in X에서 \phi(p)에 들어가기만 하면 Y에서는 \frac{\varepsilon}{2}에 들어간다고 해 놓은 다음, 이제는 반대로 p쪽으로 시선을 돌려 \phi(p)/2 범위 안에 들어가는 q를 모아서 J(p)를 만듭니다. 어짜피 모든 p\in X에 대해서 고려하기 때문에 논리에 문제는 없습니다.
X가 Compact이므로 그런 J(p) 중 유한 개를 골라서 전체를 덮는 Open cover를 만들 수 있습니다.
여기서 Compactness의 힘이 발휘되는군요.
무언가 무한 개의 양수들의 inf를 찾는다면 0이 될 수도 있겠지만, 꼼짝없이 유한 개의 양수들 중 inf를 찾는다면 0이 될 수가 없지요. 유한 개의 Open neighborhoods 반지름을 일렬로 세워 놓고 그 중 가장 작은 값을 \delta라고 정의하고 증명을 시작합니다.
Now let q and p be points of X, such that d_X(p,q)<\delta. By (2), there is an integer m, 1\le m\le n, such that p\in J(p_m); hence
이전 일련의 과정이 증명을 하기 위한 초석을 다지기 위함이었다면, 이제는 마련된 기반 위에서 처음 제시하였던 명제를 증명합니다.
위에서 정의했던 \delta보다 작은 거리에 위치한 두 점 p와 q를 설정합니다. 그러면 (2)에 따라서 p\in X는 유한 개의 Open neighborhoods 중 하나에 포함됩니다. 그러면 p가 포함된 Open neighborhood의 중심을 p_m이라고 하고요, J(p)의 정의에 따라서 두 점의 거리는 \frac{1}{2}\phi(p_m)보다 작게 됩니다.
처음에 내렸던 p, q의 거리의 정의와 결합된 삼각부등식을 사용하면 마지막에서 두 번째 부등식의 결과를 얻을 수 있고, 이 결과는 그대로 Uniform continuity의 결론을 내는 데 사용됩니다.
제법 먼 길을 돌아왔네요. 처음에는 해석학 Remind도 하고 수식 입력 테스트도 해 볼 겸 시작했는데 일이 이렇게 방대해 질 줄은 몰랐습니다. 흑흑... 그래도 의미 있는 일인 것 같아서 뿌듯합니다. 이대로 학기말까지 공부 열심히 해서 좋은 성적 받기를 고대하며 이만...
졸업을 앞두고 (물론 앞으로... 6달 정도 후의 진로가 어떻게 되어 있을지는 장담할 수 없겠지만) 후배들이나 공대(혹은 포항공대)를 지망하는 학생들이 있다면 학교 생활을 어떻게 해 나가면 좋을까... 라는 것에 대해서 이야기해 주면 좋겠다고 약 0.5초간 생각했었습니다. 히힛-
물론 대다수의 훌륭한 공대생들을 앞에 두고 이런 글을 적는 것 자체가 무척이나 송구합니다만 짧지 않았던 4년간의 학교 생활을 조금씩 정리하면서 '어떤 마음가짐을 가지고 학교 생활을 했으면 했을까' 하고 제가 한 걸음 한 걸음 떼어 놓았던 발걸음에 대해 다시 한 번 생각하게 만드는 시간이라고 생각하면서...
잠깐 어떻게 이런 학교에 발을 들이게 되었는지 되짚어 볼까요? 평범한 고등학교를 나와서 수능의 고배를 마시고 1년간 재기를 꿈꾸며 잘 놀지도 못하면서 어떻게 어떻게 나름 수시였는데... 추가라는 요상한 미명하에 훌륭한 학교에 입학하게 되었습니다.
이 학교에 있으면서 꿈이 참 많이 바뀌었어요. 그 만큼 줏어듣고 다닌 게 많다는 뜻이라고 혼자 생각하고 있습니다만... 하지만 이렇게 많이 줏어듣고 다니면서 정확한 장래 설정을 빨리 할 수 있으면 좋겠다는 생각을 했습니다. 많이 헤멘 만큼 불필요한 시간도 많이 흘러가지요. 처음에는 컴퓨터를 전공하려고 했지만 부족한 점수 탓에 다른 과를 지원해서 학교 문턱을 밟게 되었는데, 지금 돌이켜 생각해 보면 이것도 참 운이라는 생각이 듭니다. 이 이야기는 조금 뒤에 또 다시 하도록 하고요.
일단 4년동안 초지일관 흔들리지 말아야 할 원칙들이 몇 가지 있는 것 같습니다. 일단 가장 강조하고 싶은 것은... 규칙적인 생활! A sound body, a sound mind라고 어떻게든 규칙적인 운동 혹은 취미생활로 지속적으로 지식을 우겨넣-_-을 수 있는 환경을 조성해 주어야 합니다. 애써 머릿속에 넣었는데 삭제되어 버리면 아깝잖아요... 전 이걸 말년에야 간신히 실천해서 효과를 보고 나니 허무하게 흘려 버린 지난 몇 년이 너무너무 아깝게만 느껴집니다.
고등학교 때 고생했던 것 대학교에서 푼다고 생각하시면 앞으로 사회로 뛰쳐나갈 때 왜 그랬을까... 왜 그랬을까... 하는 생각이 계속 머릿속을 맴돌게 될 것 같네요. 요즘은 많은 후배들이 생활하는 모습을 보면 그래도 많이 좋아졌다는 생각이 들기는 합니다만... 벌써부터 자기 꿈을 향해 조금씩 나아가는 모습을 보면 잘 알지도 못하고 먼 발치서 가끔 보는 사람들이지만 무척이나 대견하게 느껴집니다. 처음부터 약간 빡빡한 생활을 즐기시다 보면 학교 문을 나설 때 무척이나 뿌듯할 거에요. 전 그래도 초반부터 다른 동기들보다는 빡빡하게 살았다고 자부한 터라 이런 점에 대해서는 제 자신이 조금은 자랑스럽게 느껴집니다.
머릿속에 배워 넣는 것에 대해서도 조금 이야기해 볼께요. 절대로 수학을 멀리하지 마세요. 제가 몇 년간 계속 바뀌는 꿈에 남들만큼 많은 고민을 해 봤지만 공돌이가 가질 수 있는 가장 큰 장벽은 수학적인 능력과 Computing입니다. 물론 학계에 남는 게 아니라 사회로 진출한다고 가정했을 때 말이지요. 경제... 경영... 같이 공부하면 물론 좋겠지만 그것은 수학적인 능력과 Computing이 뒷받침될 때 다른 인문대 사람들과 차별화된 경쟁력이 될 수 있습니다. 이거 못 하면서 경제 경영 하면 별 차이가 없잖아요. 자신만의 진입장벽을 만든다고 생각하면서 자기가 가진 꿈을 이루는 데 필요한 수학과목은 절대로 소홀히 하면 안됩니다. 제가 이것 때문에 말년을 괴롭게 보내고 있습지요. 어디 가든 다 쓸 데가 있거든요. 아, 물론 꿈이랑 배우는 것의 방향이 맞을 때 하는 이야기입니다. 전 대충 방향이 맞아가고 있는지라... (그나저나 취직은 흙 ㅠㅁ ㅠ)
자기 과가 있다고 절대로 편식하면 안 됩니다. 능력이 닿는 한에서 최대한 많이, 나중에 필요하다고 생각되면 이것 저것 들어두세요. 예를 들어서, 아시는 9X 선배님께서는 컴퓨터공학을 전공하셨지만, 수학 과목들과 산업경영공학과 과목을 이것저것 챙겨두시더군요. 지금은 모 회사에 가 계시는데 감히 이런 경험이 많은 도움이 될 것이라고 확신합니다. (물론 잘 써먹는지는 차치해 두고요 ㅋㅋ 욕하지마셈) 하나만 들어서는 이걸 어디에 써먹을까... 라는 생각이 들기도 하지만 어느 과목에 통달한 사람들 말도 좀 들어보고, 관련도 지어보고 하다 보면 의외로 다른 과에서 연결고리를 찾는 과목들이 좀 있습니다. 이걸 어디다 써... 가 아니고 이걸 어디에다 붙일까... 라는 생각으로 자기가 가진 꿈과 수강 과목들을 잘 연결하면 의외로 재미있는 조합이 나옵니다. 제 친구중에는 물리과 과목을 듣다가 어느 날 보니 Cryptography로 전공을 잡는 녀석도 보았습니다.
hw01.pdf
