말은 거창합니다만...
그 동안 손 놓았던 몇 가지 일들을 좀 더 추진해 보고자 합니다.
쉬울 듯 어려운 그 일들이 과연 무엇일지...
숫자놀이 공부
영화 한 편
블로그 포스팅 하나
산 타기
굿모닝 팝스를 다운로드 받아서 하루치를 오며가며 듣기 (2시간)
영어 자막 프로젝트 (신규, 첫 작품은 Quantum of Solace)
2주에 한 권 사회과학도서 읽기 (가능할지... 흠흠)
일주일에 한 명씩은 사람 만나기
일주일에 다섯 명씩은 전화하기
점심에는 꾸준히 걷기
작품을 감상해 봅시다!
제목도 그럴싸합니다.
일단 머리에 잘 들어오게 연속성에 대해서 주루룩 써 보도록 하지요.
X and Y are metric spaces, E\subset X, p\in E and f maps E into Y. Then f is said to be continuous at p if for every \varepsilon > 0 there exists a \delta>0 such that\gif d_Y(f(x), f(p))<\varepsilonfor all points x\in E for which d_X(x,p)<\delta.그럴싸한가요? ...하아
이전 단원에서 \varepsilon, N을 가지고 수렴성을 정의했던 것과 유사한데요.
이번에는 N 대신 \delta가 나왔습니다.
임의의 \varepsilon와 고정된 점 p에 따라서
조건에 합당하는 \delta가 결정되는 것이 특징입니다.
다음은 Uniform continuity입니다.
f be a mapping of a metric space X into a metric space Y. We say that f is uniformly continuous on X if for every \varepsilon>0 there exists \delta>0 such thatd_Y(f(p),f(q))<\varepsilonfor all p and q in X for which d_X(p,q)<\delta.Continuity와 거의 유사하지만 이번에는 X에 포함되는
어떠한 점 p, q라도 위의 조건을 만족해야 한다는, 좀 더 강력한 의미의 정의입니다.
즉, 순전히 함수의 성질과 임의의 \varepsilon에 대해서 \delta의 상한치를 결정할 수 있다는 의미입니다.
다음은 Compactness 복습입니다 :)
E in a metric space X we mean a collection \{G_\alpha\} of open subsets of X such that E\subset\cup_\alpha G_\alpha.K of a metric space X is said to be compact if every open cover of K contains a finite subcover.\{G_\alpha\} is an open cover of K, then there are finitely many indices \alpha_1,\cdots,\alpha_n such thatK\subset G_{\alpha_1}\cup\cdots\cup G_{\alpha_n}.조금 직관적으로 와닿게 설명을 하자면,
어떤 Set에 대한 Open cover가 존재한다고 했을 경우에,
그 중에서 유한 개를 골라 Set을 덮어버릴 수 있음을 이야기하는 것이 Compactness입니다.
유한 장의 이불로 침대를 덮어 버릴 수 있다면 그 침대는 Compact한 것이지요. :)
그럼 이제 본론으로 들어가 보겠습니다.
f be a continuous mapping of a compact metric space X into a metric space Y. Then f is uniformly continuous on X.\varepsilon>0 given. Since f is continuous, we can associate to each point p\in X a positive number \phi(p) such thatq\in X, d_X(p,q)<\phi(p)\mbox{ implies }d_Y(f(p),f(q))<\frac{\varepsilon}{2}.Let J(p) be the set of all q\in X for whichd_X(p,q)<\frac{1}{2}\phi(p).Since p\in J(p), the collection of all sets J(p) is an open cover of X; and since X is compact, there is a finite set of points p_1,\cdots,p_n in X, such thatX\subset J(p_1)\cup\cdots\cup J(p_n).We put\delta = \frac{1}{2}\textrm{min}[\phi(p_1),\cdots,\phi(p_n)].Then \delta>0. (This is one point where the finiteness of the covering, inherent in the definition of compactness, is essential. The minimum of a finite set of positive numbers is positive, whereas the inf of an infinite set of positive numbers may very well be 0.)먼저 Continuity의 정의를 활용해서,
어떤 점 q\in X에서 \phi(p)에 들어가기만 하면 Y에서는 \frac{\varepsilon}{2}에 들어간다고 해 놓은 다음,
이제는 반대로 p쪽으로 시선을 돌려\phi(p)/2 범위 안에 들어가는 q를 모아서 J(p)를 만듭니다.
어짜피 모든 p\in X에 대해서 고려하기 때문에 논리에 문제는 없습니다.
X가 Compact이므로 그런 J(p) 중 유한 개를 골라서
전체를 덮는 Open cover를 만들 수 있습니다.
여기서 Compactness의 힘이 발휘되는군요.
무언가 무한 개의 양수들의 inf를 찾는다면 0이 될 수도 있겠지만,
꼼짝없이 유한 개의 양수들 중 inf를 찾는다면 0이 될 수가 없지요.
유한 개의 Open neighborhoods 반지름을 일렬로 세워 놓고 그 중 가장 작은 값을\delta라고 정의하고 증명을 시작합니다.
q and p be points of X, such that d_X(p,q)<\delta. By (2), there is an integer m, 1\le m\le n, such that p\in J(p_m); henced_X(p,p_m)<\frac{1}{2}\phi(p_m)and we also haved_X(q,p_m)\le d_X(p,q)+d_X(p,p_m)<\delta+\frac{1}{2}\phi(p_m)\le\phi(p_m).Finally, (1) shows that therefored_Y(f(p),f(q))\le d_Y(f(p),f(p_m))+d_Y(f(q),f(p_m))<\varepsilon.This completes the proof.이전 일련의 과정이 증명을 하기 위한 초석을 다지기 위함이었다면,
이제는 마련된 기반 위에서 처음 제시하였던 명제를 증명합니다.
위에서 정의했던 \delta보다 작은 거리에 위치한 두 점 p와 q를 설정합니다.
그러면 (2)에 따라서 p\in X는 유한 개의 Open neighborhoods 중 하나에 포함됩니다.
그러면 p가 포함된 Open neighborhood의 중심을 p_m이라고 하고요,J(p)의 정의에 따라서 두 점의 거리는 \frac{1}{2}\phi(p_m)보다 작게 됩니다.
처음에 내렸던 p, q의 거리의 정의와 결합된 삼각부등식을 사용하면
마지막에서 두 번째 부등식의 결과를 얻을 수 있고,
이 결과는 그대로 Uniform continuity의 결론을 내는 데 사용됩니다.
제법 먼 길을 돌아왔네요.
처음에는 해석학 Remind도 하고 수식 입력 테스트도 해 볼 겸 시작했는데
일이 이렇게 방대해 질 줄은 몰랐습니다. 흑흑...
그래도 의미 있는 일인 것 같아서 뿌듯합니다.
이대로 학기말까지 공부 열심히 해서 좋은 성적 받기를 고대하며 이만...
직접 제출한 녀석들입죠.
다 맞는다고 기대하지도 않지만, 나름 고생고생해서 만들어낸
내 새끼들이기에 일단 올려 놓습니다.
밤 새 가면서 작성했던 것들... 고생이 이만저만이 아니었습니다.
일종의 솔루션이 되는건가요? 훗...
하지만 전 수학과 학생도 아니고, 단지 참고할 만한 수준의 내용이니까요.
나중에 다시 보게 될 수도 있고...
이런 것 말고도 보면서 읽을 거리를 좀 만들어 보아야겠어요.
모든 숙제는 W.Rudin의 PMA Exercise 문제들입니다.
hw01.pdf첫 번째 숙제, 1.(3, 5, 6, 7) 그리고 교수님의 보-너스 문제
hw02.pdf두 번째 숙제, 1.9, 2.(2, 6, 7, 9) 그리고 교수님이 주신 문제
hw03.pdf세 번째 숙째, 2.(12, 16, 17, 22, 23, 29, 30)
hw04.pdf네 번째 숙제, 3.(3, 5, 6, 7)
hw05.pdf다섯 번째 숙제, 3.(8, 12, 14)
hw06.pdf여섯 번째 숙제, 3.(16, 21), 4.(8, 10, 14, 18, 21)
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